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    初中數學二次函數知識點總結

    2014-01-29 11:37 | 來源:網絡資源 | 作者:未知 | 本文已影響

     

    I.定義與定義表達式

    一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:y=ax^2+bx+c

    abc為常數,a0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱yx的二次函數。

    二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

     

    II.二次函數的三種表達式

    一般式:y=ax^2+bx+cabc為常數,a0

    頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點Phk]

    交點式:y=a(x-x)(x-x ) [僅限于與x軸有交點Ax₁ ,0)和     Bx₂,0)的拋物線]

    注:在3種形式的互相轉化中,有如下關系:

    h=-b/2a   k=(4ac-b^2)/4a   x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a

     

    III.二次函數的圖像

    在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像,可以看出,二次函數的圖像是一條拋物線。

     

    IV.拋物線的性質

    1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線    x = -b/2a

    對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0

    2.拋物線有一個頂點P,坐標為:P ( -b/2a (4ac-b^2)/4a )-b/2a=0時,Py軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,Px軸上。

    3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

    a0時,拋物線向上開口;當a0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。

    4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

    ab同號時(即ab0),對稱軸在y軸左;

    ab異號時(即ab0),對稱軸在y軸右。

    5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

    拋物線與y軸交于(0c

    6.拋物線與x軸交點個數

    Δ= b^2-4ac0時,拋物線與x軸有2個交點。

    Δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

    Δ= b^2-4ac0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^24ac 的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a

     

    V.二次函數與一元二次方程

    特別地,二次函數(以下稱函數)y=ax^2+bx+c

    y=0時,二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0

    此時,函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

    1.二次函數y=ax^2y=a(x-h)^2y=a(x-h)^2 +ky=ax^2+bx+c(各式中,a0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:

    h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,

    h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.

    h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象;

    h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

    h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

    h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

    因此,研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

     

    2.拋物線y=ax^2+bx+c(a0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a[4ac-b^2]/4a)

     

    3.拋物線y=ax^2+bx+c(a0),若a>0,當≤ -b/2a時,yx的增大而減小;當≥ -b/2a時,yx的增大而增大.若a<0,當≤ -b/2a時,yx的增大而增大;當≥ -b/2a時,yx的增大而減小.

     

    4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點:

    (1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0c)

    (2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x₁,0)B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

    (a0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x-x|

    當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

    當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0

     

    5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x= -b/2a時,y最小()=(4ac-b^2)/4a

    頂點的橫坐標,是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐標,是最值的取值.

     

    6.用待定系數法求二次函數的解析式

    (1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知xy的三對對應值時,可設解析式為一般形式:

    y=ax^2+bx+c(a0)

    (2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a0)

    (3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x)(x-x)(a0)

     

    7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為復雜的綜合題目。因此,以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現.

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